SQL Server on Linux の ERRORLOG に出力されるようなメッセージについては syslog にも出力されるようになっています。
Azure の OMS では、syslog を連携することもできるため、Linux に OMS エージェントをインストールすることで、syslog を連携することができます。
Log Analytics の Syslog データ ソース
実際に連携した際の画面が次の画像になります。
現状、facility が daemon、severity が info の情報として出力されるため、次のような設定を OMS で実施することで受け取ることができるようになるかと。 