Windows Azure の VM を AD に参加させる場合には、参照している DNS を VM 上に構築した AD のプライベートの IP アドレスに設定します。
Azure VM 上で AlwaysOn を構築するためのチュートリアルとして チュートリアル: Windows Azure AlwaysOn 可用性グループ (GUI) がありますが、この方法で AlwaysOn を構成するための SQL Server のインスタンスを作成すると少し問題があることがありますので注意点をメモとして。
PowerShell で構築するためのチュートリアルである チュートリアル: Windows Azure AlwaysOn 可用性グループ (PowerShell) のほうであれば問題はないかと。